درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی کلاس نهم

1- هزینهٔ اشتراک یک خط اینترنت روی تلفن همراه 3000 تومان مبلغ ثابت و 2000 تومان برای هر ساعت استفاده است. هزینهٔ کلّی x ساعت استفاده از اینترنت را با y نشان دهید و رابطه‌ای بین x و y بنویسید.

$y=2000x+3000$

یک نوع دیگر از اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، 3000 تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینهٔ اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت را در این حالت بنویسید.

$y=3000x$

دو خط به معادله‌های فوق را در دستگاه مختصات مقابل رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای 1/5 ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟
در نقطه برخورد دو خط $\left[ \begin{matrix}3  \\9000  \\\end{matrix} \right]$، مقدار طول و عرض آنها با هم برابر است. یعنی در این نقطه تعداد ساعت استفاده از اشتراک نوع اول و دوم و هزینۀ آنها با هم برابر می‌شود.
برای 1/5 ساعت استفاده، هزینه اشتراک نوع دوم برابر 4500 تومان و هزینه اشتراک نوع اول برابر 6000 تومان است. از روی نمودار نیز مشخص است که برای $x=1/5$ مقدار y اشتراک نوع دوم کمتر از نوع اول است. بنابراین در این حالت اشتراک نوع دوم بهتر است.
قبل از نقطۀ تلاقی دو خط، اشتراک نوع دوم به صرفه‌تر است و پس از تلاقی دو خط، اشتراک نوع اول به صرفه‌تر است. بنابراین پس از 3 ساعت، اشتراک نوع اول به صرفه‌تر است.

2- معادلهٔ $y=2x-1$ چند جواب دارد؟ نمودار آن را رسم کنید.
این معادله بی‌شمار جواب دارد. زیرا به ازای هر مقدار x، می‌توان مقداری برای y پیدا نمود.

معادلهٔ $y=-x+2$ چند جواب دارد؟
این معادله نیز بی‌شمار جواب دارد. زیرا به ازای هر مقدار x، می‌توان مقداری برای y پیدا نمود.

نمودار آن را رسم کنید. توضیح دهید چگونه یک جواب مشترک برای این دو معادله پیدا می‌کنید.
نقطه‌ای که جواب هر دو معادله باشد، نقطه‌ای است که روی هر دو خط قرار داشته باشد و این نقطه همان محل برخورد دو خط است. یعنی جواب مشترک دو معادله نقطۀ $x=1$ و $y=1$ است.

1- خط $2x-3y=4$ را رسم کنید. خط به معادلهٔ $4x-6y=8$ را که در آن تمام عددهای معادلهٔ بالا دو برابر شده است، رسم کنید.
الف) آیا خط جدیدی به دست آمد؟ خیر، این خط منطبق بر خط قبلی است.

ب) چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟ اگر تمام ضریب‌های عددی یک معادلهٔ خط در یک عدد ضرب کنیم خط تغییر نمی‌کند یا به عبارتی خطی منطبق بر خط قبلی به دست می‌آید.

ج) آیا می‌توان گفت این دستگاه معادلهٔ خطی بی شمار جواب دارد؟ چرا؟

$\left\{ \begin{align}
  & 2x-3y=4 \\
 & 4x-6y=8 \\
\end{align} \right.$

تمام نقاط این دو خط روی هم قرار دارند و بنابراین این دستگاه بی‌شمار جواب دارد.

2- به مثال‌های زیر توجه کنید:

$\begin{align}
  & \underline{\begin{matrix}
   {}  \\
   +  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   2=2  \\
   5=5  \\
\end{matrix}} \\
 & \begin{matrix}
   {}  \\
   {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   7=7  \\
   {}  \\
\end{matrix} \\
\end{align}$ (الف

$\begin{align}
  & \underline{\begin{matrix}
   {}  \\
   +  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   x=x  \\
   2x=2x  \\
\end{matrix}} \\
 & \begin{matrix}
   {}  \\
   {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   3x=3x  \\
   {}  \\
\end{matrix} \\
\end{align}$ (ب

از این مثال چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟ اگر دو طرف دو تساوی را باهم جمع کنیم، یک تساوی جدید به دست می‌آید. اگر دو طرف یک تساوی را در عددی ضرب کنیم، یک تساوی جدید حاصل می‌شود.

3- با توجه به نتیجه‌هایی که از سؤال‌های بالا گرفتید، توضیح دهید که چگونه دستگاه معادله‌های زیر حل شده است. در هر قسمت مشخص کنید از کدام نتیجه استفاده شده است.

$\begin{align}
  & \underline{+\left\{ \begin{align}
  & x-y=1 \\
 & x+y=3 \\
\end{align} \right.} \\
 & \quad \quad 2x\ \ =4 \\
 & \Rightarrow x=2,x+y=3 \\
 & \Rightarrow 2+y=3\Rightarrow y=1 \\
\end{align}$

$\left[ \begin{matrix}2  \\1  \\\end{matrix} \right]$ :جواب دستگاه

در این دستگاه ابتدا یکی از تساوی‌ها در عدد 2 ضرب شده است. عدد 2 طوری انتخاب شده است که پس از جمع دو تساوی یکی از متغیرها (مانند y در این مثال) حذف شود. سپس از جمع دو تساوی استفاده شده است. در تساوی حاصل از جمع، متغیر y حذف شده است و فقط متغیر x وجود دارد که پاسخ معادله به راحتی به دست می‌آید. با معلوم شدن مقدار x از یکی از معادله‌های دستگاه استفاده کرده و مقدار y محاسبه می‌شود.

$\begin{align}
  & \begin{matrix}
   2\times   \\
   {}  \\
\end{matrix}\left\{ \begin{matrix}
  & 2x-y=3 \\
 & x+2y=4 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \underline{+\left\{ \begin{matrix}
  & 4x-2y=6 \\
 & x+2y=4 \\
\end{matrix} \right.} \\
 & \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & \begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}5x\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}=10  \\
\end{matrix} \\
 & \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & \begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}x=2,x+2y=4  \\
\end{matrix} \\
 & \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}2+2y=4  \\
\end{matrix} \\
 & \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}2y=2\Rightarrow y=1  \\
\end{matrix} \\
\end{align}$

$\left[ \begin{matrix}2  \\1  \\\end{matrix} \right]$ :جواب دستگاه

در این دستگاه ابتدا از جمع دو تساوی استفاده شده است. در تساوی حاصل از جمع، متغیر y حذف شده است و فقط متغیر x وجود دارد که پاسخ معادله به راحتی به دست می‌آید. با معلوم شدن مقدار x از یکی از معادله‌های دستگاه استفاده کرده و مقدار y محاسبه می‌شود.

1- دستگاه معادله‌های خطی زیر را به روش دیگری نیز می‌توان حل کرد.

$\left\{ \begin{align}
  & 2x-3y=5 \\
 & y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} \\
\end{align} \right.$

(راهنمایی: هدف این است که به یک معادلهٔ یک مجهولی برسیم؛ بنابراین مقدار y را از معادلهٔ پایین در معادلهٔ بالا قرار دهید تا یک معادلهٔ یک مجهولی به دست آید؛ نام این روش، جایگزینی است).

$\begin{align}
  & 2x-3\left( \frac{1}{3}x-\frac{2}{3} \right)=5\quad \Rightarrow \quad 2x-x+2=5\Rightarrow x=3 \\
 & {{\left. \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix} & {}  \\
\end{matrix} & {}  \\
\end{matrix} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {}  \\
\end{matrix}y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} \right|}_{x=3}}=\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \\
\end{align}$

2- «طول یک مستطیل از دو برابر عرض آن 3 سانتی متر کمتر است. اگر محیط مستطیل 24 سانتیمتر باشد، طول و عرض مستطیل را پیدا کنید.» این مسئله توسط سه دانش آموز حل شده است. روش‌های هر کدام را توضیح دهید و کامل کنید.

روش 1:

$2x-3$ :طول مستطیل  و x :عرض مستطیل

$=2(x+2x-3)=24$ محیط

عرض $2(3x-3)=24\to 6x=30\to x=5$
طول $2x-3=2\times 5-3\to y=7$

روش2:

y :طول مستطیل  و x :عرض مستطیل

$\begin{align}
  & \left\{ \begin{matrix}
   y=2x-3\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}  \\
   2(x+y)=24  \\
\end{matrix} \right.\to \underline{\begin{matrix}
   {}  \\
   -  \\
\end{matrix}\left\{ \begin{matrix}
   2x-y=3  \\
   2x+2y=24  \\
\end{matrix} \right.} \\
 & \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix}-y-2y=3-24 \\
\end{align}$
$-3y=-21\to y=7\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{\left. y=2x-3 \right|}_{y=7}}\to 7=2x-3\to x=5$

روش3:

y :طول مستطیل  و x :عرض مستطیل

$\left\{ \begin{align}  & y=2x-3 \\ & 2(x+y)=24\to 2(x+2x-3)=24 \\ \end{align} \right.$
$2(3x-3)=24\to 6x=30\to x=5$ : عرض
$2x-3=2\times 5-3\to y=7$ : طول

بین روش‌های اول و سوم چه شباهتی هست؟
هر دو از روش جایگزینی متغیر y در رابطۀ محیط استفاده کرده‌اند.